高等数学

目录 初等函数 数列的极限 函数的极限 无穷小与无穷大 极限的四则运算法则 极限存在准则与两个重要极限 无穷小的比较 函数的连续性 宗旨 被认为是“难或枯燥”的数学运算，其实只要方法得当，普通人（即“傻瓜”）也能学会。 讽刺许多教科书作者（“聪明的傻瓜”）喜欢把简单的东西讲得复杂，以炫耀自己的聪明才智。 很多学生被微积分吓退，其实只是因为不理解符号的含义。 微积分本质上是一种操作说明，而不是神秘咒语。 📌 课外参考资料推荐 《普林斯顿微积分读本》 《吉米多维奇数学分析习题集》 《数学分析中的典型问题与方法》（裴礼文） 《微积分学教程》（菲赫金戈尔茨） 《微积分和数学分析引论》（柯朗） 💡 学习建议微分是研究变化与变化率的数学分支。它通过分析变量之间的依赖关系，用 ( dx ) 和 ( dy ) 这类“微小变化”来描述一个量如何影响另一个量，从而为理解运动、增长、优化等问题提供工具。 两个核心符号的解释符号 d：表示“一小部分” dx 就是 x 的一小部分，du 就是 u 的一小部分。 这些“小块”可以想象成无限小的量。 **符号 ∫：表示“求和”** ∫ 是一个拉长的字母 S（代表 Sum，即“求和”）。 ∫ dx 表示“把所有 dx（x 的小块）加起来”，也就是得到 x 的整体。 类比举例：1 小时可以看作 3600 秒（每一秒是一个 dt），把它们全部加起来（∫ dt）就是 1 小时。 直观理解“积分” 积分（integral）的字面意思就是“整体”。 看到 ∫ 时，就表示要进行“求和”操作：把后面符号所代表的所有“小块”累加起来。 不同阶数的“微小量”及其可忽略性 微小量的相对性： 如1分钟相对于一周是很小的，但1秒相对于1分钟又是更小的。 微小量的“阶数”： 一阶微小量：比如 $dx$（$x$ 的一小部分）。 二阶微小量：比如 $dx^2$（$x$ 的一小部分的一小部分），是更高级别的“小”。 何时可忽略： 在计算中，高阶微小量（如二阶及以上）通常可以忽略不计，前提是基础微小量本身足够小。 但如果微小量被一个很大的因子相乘（如 $x\cdot dx$，其中 $x$ 很大），它仍可能变得不可忽略。

最近刷题目卡在最后一题了, 题目是这样的: 问题: 设 $\left\{ a_{n}\right\} ,\left\{ b_{n}\right\} $ 为满足 $e^{a_{n+1}}=a_{n}+e^{b_{n}},n\geq1$ 的两个实数列, 已知 $a_{n}>0(n\geq1)$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 收敛。证明: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{a_{n}}$ 也收敛。 从题目中容易解出来 b_{n}=\ln\left(\ue^{a_{n+1}}-a_{n}\right),所以要证明$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{a_{n}}$的收敛性, 最先想到的是证明级数的各项能被$a_{n}$的某固定常数倍控制, 于是 \frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{\ln\left(\ue^{a_{n+1}}-a_{n}\right)}{a_{n}}\le\frac{\ue^{a_{n+1}}-1-a_{n}}{a_{n}}\le\frac{a_{n+1}+o\left(a_{n+1}\right)-a_{n}}{a_{n}}.但右边似乎没有办法被很好的控制, 因为我最后构造了一个反例, 反例大概是这样的 a_{n}=\begin{cases} \frac{1}{n^{2}}, & n\ne m^{2},\\ \left(1+\frac{1}{m}\right)\frac{1}{n^{2}}, & n=m^{2}+1, \end{cases}使用$\frac{1}{n^{2}}$是因为众所周知的$\zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{6}$, 来确保级数$\sum a_{n}$的收敛性. $1+\frac{1}{m}$项是为了能让项$\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}$在$n=m^{2}$时得到$\frac{1}{m}$, 这可以取遍调和级数的所有项, 从而使$\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}$形成的部分和含有发散子列$\frac{1}{m}$. 这是我怀疑上面的不等式在放大的过程中放的太过了, 所以有必要直接考虑$\frac{b_{n}}{a_{n}}$在$n$很大时的变化趋势, 根据 ...

对于如下类型的极限计算\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k)\]可采用的计算方法有: 转化为定积分定义计算若$f(k)$能表达成$g\left(\frac{k}{n}\right)$的形式时, 可采用定积分定义计算, 即\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}g\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1}g(x)dx.\] 采用Stolz定理, 转化为计算 $\lim_{n\rightarrow\infty}f(n)$;使用Euler求和公式.

问题: 求 I=\int_{0}^{1}\frac{x-1}{\ln x}\ud x.提示 I=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x^{y}\ud y\ud x=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x^{y}\ud x\ud y=\int_{0}^{1}\frac{1}{y+1}\ud y=\ln(1+y)\mid_{0}^{1}=\ln2.

问题: 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有二阶可导, 且 $f(a)=f(b)=0$, $M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{\prime\prime}(x)\right|$, 证明 \left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq\frac{(b-a)^{3}}{12}M.瞎算 \begin{align*} f(x) & =f'(a)(x-a)+\frac{f''(\xi)}{2}(x-a)^{2}\\ & =f'(b)(x-b)+\frac{f''(\eta)}{2}(x-b)^{2}\\ & =\lambda f'(a)(x-a)+(1-\lambda)f'(b)(x-b)+\lambda\frac{f''(\xi)}{2}(x-a)^{2}+(1-\lambda)\frac{f''(\eta)}{2}(x-b)^{2} \end{align*}取$\lambda=\frac{f’(b)}{f’(a)+f’(b)}$, \int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{\lambda}{2}\int_{a}^{b}f''(\xi)(x-a)^{2}dx+\frac{1-\lambda}{2}\int_{a}^{b}f''(\eta)(x-b)^{2}dx. \left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\le\frac{\lambda}{2}M\int_{a}^{b}(x-a)^{2}dx+\frac{1-\lambda}{2}M\int_{a}^{b}(x-b)^{2}dx=\frac{M(b-a)^{3}}{6}. 提示 \begin{align*} 0=f(a) & =f(x)+f'(x)(a-x)+\frac{f''(\xi)}{2}(a-x)^{2}\\ & =f(x)+f'(x)(b-x)+\frac{f''(\eta)}{2}(b-x)^{2}\\ & =f(x)+\lambda(a-x)f'(x)+(1-\lambda)(b-x)f'(x)+\frac{f''(\xi)}{2}\lambda(a-x)^{2}+\frac{f''(\eta)}{2}(1-\lambda)(b-x)^{2} \end{align*}取$\lambda=\frac{ ...

关于每个变量连续的间断函数.\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2}\ne0,\\0, & x=y=0.\end{cases}\] 一个二元函数在原点没有极限, 但沿着任一直线逼近原点存在极限.\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2}\ne0,\\0, & x=y=0.\end{cases}\] 以下三种极限恰有两个存在且相等的函数\[\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)\quad\lim_{x\to a}\lim_{y\to b}f(x,y),\quad\lim_{y\to b}\lim_{x\to a}f(x,y).\] (1).\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2}\ne0,\\0, & x=y=0.\end{cases}\] (2).\[f(x,y)=\begin{cases}y+x\sin(1/y), & y\ne0,\\0, & y=0.\end{cases}\] (3).\[f(x,y)=\begin{cases}x+y\sin(1/x), & x\ne0,\\0, & x=0.\end{cases}\] 以上三种极限恰有一个存在的函数.(1).\[f(x,y)=\begin{cases}x\sin(1/y)+y\sin(1/x), & xy\ne0,\\0, & xy=0.\end{cases}\] (2).\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+y\sin(1/x), & x\ne0,\\0, & x=0.\end{cases}\] (3).\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+x\sin(1/y), & y\ne0,\\0, & y=0.\end{cases}\] 累次极限交换次序不相等的函数.\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^{2 ...